Un nuevo teorema simplifica la teoría de colas

La teoría de colas es el estudio matemático de las colas o líneas de espera dentro de un sistema. Estudia, por ejemplo, cómo será el tiempo de espera medio que algo o alguien tiene que estar para ser atendido, o la capacidad de trabajo de un sistema sin que llegue a colapsar.
 
La teoría es muy útil para modelar procesos tales como la llegada de datos a una cola en ciencias de la computación, la congestión en una red informática o de telecomunicación, o la implementación de una cadena productiva en la ingeniería industrial.
 
Matemáticos rusos han encontrado ahora un modo de simplificar la solución de problemas de ese tipo en la teoría de colas. Los resultados se publican en la revista Probability in the Engineering and Informational Sciences.
 
Proceso aleatorio
 
Los modelos de la teoría de colas normalmente se dividen en dos partes. La primera se centra en una tienda imaginaria en la que se encuentran diferentes recursos, por ejemplo, productos.
 
La segunda parte refleja la cantidad de recursos-productos que se compran en este momento. Tradicionalmente la segunda parte del modelo se denomina cola, ya que es en esta parte en la que los productos o personas deben esperar su turno.
 
En matemáticas, la cola se describe como un proceso aleatorio: el comportamiento de todo el modelo se presenta como un sistema regido por ecuaciones probabilísticas.
 
Buscar la solución de problemas en el seno de ese sistema de forma frontal es una tarea bastante complicada. Por ello, en la modelación normalmente se tienen en cuenta sistemas en los que se puedan encontrar soluciones alternativas, entre ellas una solución especial que se llama forma multiplicativa.
 
Variante del modelo
 
El matemático de la Universidad de la Amistad de los Pueblos de Rusia (Universidad RUDN), Konstantín Samúylov, catedrático y director del Instituto de Matemáticas Aplicadas y Telecomunicaciones, introdujo una variante  en el modelo más común de la teoría de colas: los valores de la cola pueden ser no solamente positivos, sino también negativos. En este caso, la cantidad de los recursos en la tienda imaginaria no se reduce, sino que se incrementa.
 
El catedrático Samúylov pudo descubrir las condiciones que se producen  cuando las soluciones del modelo son multiplicativas.
 
Anteriormente, estas condiciones se podían encontrar en la literatura científica, pero solamente como requerimiento adicional para el modelo: entonces se introducían en los cálculos junto con el requerimiento de multiplicatividad.
 
La nueva investigación ha podido demostrar que estos requerimientos son la consecuencia necesaria de la multiplicatividad.
 
Cada solución de ecuaciones probabilísticas en la teoría de colas está relacionada con la función de unas variables que denominan la densidad de distribución estacionaria.

Solución multiplicativa
 
Los investigadores señalan al respecto que la solución es multiplicativa, siempre y cuando esta función se presente en forma del producto de funciones, cada una de la cual depende de una variable. Por ejemplo, la función f(x, y) = xy es multiplicativa ya que se presenta como el producto de x y y.
 
El nuevo teorema perfila una clase de problemas para los existen estos tipos de soluciones. Los teoremas limitativos son muy útiles porque permiten entender el campo de aplicación de unos u otros modelos e incitan a los matemáticos a la búsqueda de los nuevos modelos.
 
Los resultados obtenidos serán útiles en la industria y en la modelación de problemas en el sector de servicios. Además, servirán para el cálculo de las redes altamente cargadas.

Referencia
 
Product-form markovian queueing systems with multiple resources. Probability in the Engineering and Informational Sciences, 1-9, June 14, 2019. DOI: https://doi.org/10.1017/S026996481900024X