Nuevo acercamiento a la descripción exacta de los sistemas complejos

En matemáticas, los denominados modelos de convección-reacción-difusión describen sistemas complejos en los que el fenómeno físico dominante es el transporte o concentración de entidades. Es lo que sucede, por ejemplo, en el crecimiento de bacterias o en el desarrollo de tumores.

Dichos modelos matemáticos pueden estar “contaminados” por lo que en jerga matemática se conoce como “oscilaciones espurias”, las cuales pueden producir resultados erróneos e inexactos.

Por ejemplo, en el caso de la descripción de una reacción química, el modelo podría indicar la existencia de concentraciones negativas de ciertos compuestos.

Herramientas matemáticas eficaces y fiables

En un estudio publicado en el Journal of Computational Physics, la profesora titular Julia Novo, de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM), y el profesor Volker John, director del grupo de Análisis Numérico y Computación Científica del Instituto Weierstrass de Berlín, compararon distintos métodos numéricos para obtener aproximaciones a modelos de convección-reacción-difusión sin oscilaciones espurias.

Esto se traduce en la posibilidad de contar con herramientas matemáticas eficaces y fiables para el análisis numérico de sistemas complejos, como lo son diversas reacciones químicas y una gran cantidad de fenómenos físicos y biológicos.

Según explica la profesora Novo: “las soluciones físicas de los modelos de convección-reacción-difusión son difíciles de simular. Esto es debido a la presencia de zonas donde la solución cambia de valor muy rápidamente en una zona muy pequeña del recinto donde se estudia el modelo”.

“Para estos casos, se hace necesaria la utilización de métodos numéricos, a los que se denomina estabilizados, que remplacen a los métodos clásicos. Pero incluso con la técnica de estabilización, es muy frecuente la presencia de oscilaciones en las aproximaciones producidas por los métodos cerca de las zonas de variación rápida”, añade Novo.

Amplias aplicaciones

Entre los métodos numéricos estudiados por Novo y John para obtener aproximaciones a modelos de convección-reacción-difusión, se encuentran métodos de elementos finitos y métodos de diferencias finitas.

Los profesores comprobaron que los primeros producen aproximaciones totalmente libres de oscilaciones, aunque requieren un tiempo de computación que puede ser bastante elevado.

Los segundos, por su parte, producen aproximaciones con oscilaciones apenas perceptibles y son más eficientes en cuanto que requieren un tiempo de computación considerablemente menor.

Para los matemáticos, las aplicaciones de estos métodos a modelos que describen distintos fenómenos físicos y biológicos parecen ser muy amplias.

Actualmente, por ejemplo, estudian su aplicabilidad a una serie de ecuaciones que describen el movimiento de los fluidos y que se utilizan, entre otros, en el estudio de la atmósfera terrestre y de las corrientes oceánicas.

Referencia:

John, Volker & Novo, Julia. On (essentially) non-oscillatory discretizations of evolutionary convection-diffusion equations. JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS. Volume 231 Issue 4, February, 2012. Pages 1570-1586